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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1: Funciones Reales

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9. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas determine en qué intervalo crece, en qué intervalo decrece, dónde es positiva, dónde es negativa, en qué puntos se anula y en qué puntos alcanza su extremo.
d) $f(x)=x^{2}+2 x+1$

Respuesta

Primero armemos el gráfico de esta función, con el esquema que vimos en la clase de Función Cuadrática y que también fuimos siguiendo en el Ejercicio 8. 

$f(x)=x^{2}+2 x+1$

Para esta cuadrática $a = 1$, $b=2$ y $c=1$.
1. La parábola tiene concavidad hacia arriba, es decir, es una "carita feliz" (ya que $a$ es positivo) 2. Buscamos las raíces resolviendo \(f(x) = 0\):

$x^{2}+2 x+1 = 0$

Si aplicás la fórmula resolvente, con $a = 1$, $b=2$ y $c=1$, vas a obtener una única raíz: $x=-1$. 

3. Calculamos el vértice. Y acá podríamos proceder de la misma forma que en el otros ejercicios, pero quizás ya te estés dando cuenta que, si $f$ tiene una única raíz, entonces necesariamente el vértice va a tener que estar en el punto $(-1,0)$, no? Mirar el gráfico seguramente te ayude si todavía no caíste:


2024-03-06%2017:27:14_5295029.png

Hagamos ahora el análisis que nos pide este enunciado:

* Intervalo de crecimiento:  $(-1, +\infty)$
* Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, -1)$ * Conjunto de positividad: $(-\infty, -1) \cup (-1,+\infty)$
* Conjunto de negatividad: $\emptyset$ * La función se anula en $x=-1$ * Alcanza un mínimo en su vértice, en el punto $(-1,0)$
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Avatar ciro 8 de abril 20:47
hola profe, puede ser que en el d al calcular la Yv me de que es en menos 2? ya se que al tener una raiz sabemos que no toca dos veces cero asi que seria imposible que el punto vertice sea (-1,-2) como me da a mi, pero queria ver si lo hacia que me daba y me da eso. Hice Xv= -2/1.2=-1 y ahi reemplace en la funcion y me dio Yv=-2
Avatar Flor Profesor 9 de abril 08:46
@ciro Hola Ciro! Debe haber un error de cuenta cuando reemplazamos $x=-1$ en la función para sacar el $y$ del vértice... acá es clave no comerse ningún paréntesis jaja porque sino hay lío con los signos, mirá:

$f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

Creo que el tema debe estar cuando reemplazas en $x^2$... fijate que al elevar $x$ al cuadrado tenemos que hacer $(-1)^2$ y eso nos da un $1$ positivo... Mucha atención también al poner este tipo de cosas en la calcu, ese paréntesis se lo tenés que poner a la calculadora también ;) Se entiende?
Avatar Avril 22 de abril 17:01
Hola profe buenas tardes :) ¿por qué en este caso el conjunto de positividad no es ( -inf ; + inf )?
Avatar Flor Profesor 23 de abril 08:36
@Avril Hola Avril! Acordate que el conjunto de positividad es el conjunto donde la función es positiva, y justo en $x=-1$ la función tiene una raíz (ahí vale cero!). Por eso las raíces no las incluimos nunca en los conjuntos de positividad o negatividad 😊
Avatar Avril 23 de abril 17:09
Aaa okii muchas gracias ☺️
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